arnet_no предложил задачку. Вокруг Земли по экватору натянули верёвку. Затем её удлинили на 1см и опять натянули, приподняв в одном месте. Сможет ли человек пройти в образовавшийся зазор?
Попробую изложить решение. Будем рассматривать треугольник точка натяжения - центр Земли - горизонт (где веревка касается земли). Обозначим: R - радиус земли, равен 40 тыс.км / два пи d - удлинение веревки, равно 1 см α - угол в центре Земли x - искомая высота
Найдем α - угол треугольника в центре земли. Расстояние от точки натяжения до горизонта с одной стороны на d/2 больше чем Rα, а с другой стороны есть R tg α. Раскладывая тангенс малого угла (α + α^3/3) получаем: α^3 = 3d/2R.
Теперь определим высоту. Расстояние от точки натяжения до центра Земли есть R / cos α, или по формуле для малого угла R / (1 - α^2/2) = R * (1 + α^2/2). То есть x = R * α^2/2. Возводя в куб и подставляя значение α^3 из предыдущей формулы, получаем: x^3 = 9/32 R d^2.
А я взял формулу для расчета длины автомобильного ремня (сслыка 2 http://nehudlit.ru/1/2247/ книга "С микрокалькулятором в руках", стр. 18), приравнял второй радиус к нулю и получил результат.
У меня вышел зазор семь метров (точное решение (9b^2 R/16)^(1/3), где b=1cm, R - радиус Земли). Хотя интуиция подсказывала, что будет миллиметра три :)
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
R - радиус земли, равен 40 тыс.км / два пи
d - удлинение веревки, равно 1 см
α - угол в центре Земли
x - искомая высота
Найдем α - угол треугольника в центре земли. Расстояние от точки натяжения до горизонта с одной стороны на d/2 больше чем Rα, а с другой стороны есть R tg α. Раскладывая тангенс малого угла (α + α^3/3) получаем: α^3 = 3d/2R.
Теперь определим высоту. Расстояние от точки натяжения до центра Земли есть R / cos α, или по формуле для малого угла R / (1 - α^2/2) = R * (1 + α^2/2). То есть x = R * α^2/2. Возводя в куб и подставляя значение α^3 из предыдущей формулы, получаем: x^3 = 9/32 R d^2.
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject
no subject