Находясь на статусе Greencard с просроченным российским паспортом, нет повода отказывать себе в поездках в Европу. Надо получить так называемый Reentry Permit и с ним запрашивать нужную визу. Большинство европейских стран признаёт Reentry Permit в качестве замены американского паспорта:

Кроме Дании и Мальты.
Источник: на официальном сайте Евросоюза справа под Info найдите "Travel documents issued by third countries and territorial entities (Part I)".
Прямая ссылка на документ: part_i_travel_documents_issued_by_third_countries_and_territorial_entities_en.xlsx

Кроме Дании и Мальты.
Источник: на официальном сайте Евросоюза справа под Info найдите "Travel documents issued by third countries and territorial entities (Part I)".
Прямая ссылка на документ: part_i_travel_documents_issued_by_third_countries_and_territorial_entities_en.xlsx