vak | Шляпа Смита

(по мотивам статьи на "Элементах")

Представьте, что вы маньяк-перфекционист, и решили замостить весь мир плиткой. Хорошо, пусть не весь мир, хотя бы бесконечную плоскость. Из экономии вся плитка должна быть одной и той же формы. И чтобы узор не рябил в глазах, он не должен повторяться. Возможно ли это? До недавнего времени математики считали, что ни хрена не выйдет.

Некто Дэвид Смит обнаружил гениальное решение. Разрежем равносторонний треугольник на три одинаковые части. Возьмём восемь таких частей и склеим странным способом:

Народ окрестил это чудо "шляпой". Наклепаем их много и уложим плотненько:

Чтобы не было скучно, добавим к шляпам ещё и рубашек:

Форму шляпы можно менять в некоторых пределах:

Математики пока ещё изучают доказательство апериодичности (https://arxiv.org/abs/2303.10798), но вроде говорят, на первый взгляд там всё правильно.

Flat | Top-Level Comments Only

From:

southwest

Тут одно из самых главных условий: "причем любое получающееся замощение окажется непериодическим". Непериодически можно замостить и треугольником. Я вот перечитал старую статью Гарднера, интересную:

https://web.ma.utexas.edu/users/radin/gardner.html

Интересно, в чем их идея, что любое замощение непереодично, их статья похоже написана для профессионалов.

spamsink

Доказательство "на пальцах" тривиально: два конечных положения трансформации дают фигуры, стороны которых отличаются в sqrt(2) раз, что иррационально, поэтому никакое перемещение на конечное расстояние не способно совместить эти конечные положения. Следовательно, исходное замощение шляпами непериодично. Вопрос лишь в том, сколько умных математических слов нужно, чтобы формализовать это соображение.