Как математики в бильярды играют

[vak]

Дипломная работа на физтехе: "Внешний биллиард вокруг правильного девятиугольника".

PDF здесь: exterior-billiard-around-regular-nonagon.pdf

Введение

Для любой гладкой строго выпуклой кривой на плоскости можно определить отображение внешности этой кривой в себя, называемое внешним биллиардом. А именно, обозначим кривую у, и пусть х — точка вне ее. Существуют две касательные к γ прямые, проходящие через х; выберем одну из них, например правую относительно х, и, отразив х относительно точки касания, получим новую точку Т(х):



Отображение Т называется внешним биллиардом; кривая γ называется кривой внешнего биллиарда. Множество точек Tn(x), где n – неотрицательное целое число, будем называть траекторией, или орбитой, внешнего биллиарда точки x относительно стола γ. В данной работе столами являются правильные многоугольники, в основном девятиугольник. В этом случае, точка правого касания определена неоднозначно, если она лежит на соответствующем продолжении одной из сторон стола; будем считать, что для таких точек преобразование внешнего биллиарда не определено.

Формальная постановка задачи

Традиционные вопросы, которые задаются в случае внешних биллиардов вокруг правильных многоугольников, это -

1. Существует ли апериодическая точка во внешнем биллиарде вне правильного n-угольника?
2. Образуют ли периодические точки множество полной меры во внешнем биллиарде вне правильного n-угольника?

В тексте этой работы будет дано обоснование положительного ответа на первый вопрос в случае n = 9 и 18. На второй же вопрос, как и в случае n = 7, ответа пока найти не удалось.

Результаты

В результате доказательств и компьютерных вычислений, мы получили следующие теоремы, которая являются основным результатом статьи.

1. Во внешнем биллиарде вокруг правильного девятиугольника существуют самоподобия.
2. Во внешнем биллиарде вокруг правильного девятиугольника существует как минимум счетное число апериодических орбит, расположенных на ограниченной области.
3. Во внешнем биллиарде вне правильного 18-угольника существует апериодическая точка.

В тексте имеется много симпатичных картинок, к примеру: