Простые арифметические задачки

[vak]

Задача N1. Число оканчивается на 2. Если эту 2-ку переставить вперед, то получится удвоенное число. Что это за число?

Задача N2. Число оканчивается на 3. Если эту 3-ку переставить вперед, то получится утроенное число. Найти число.

Задачи N3-8. То же самое для 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответы:
Для 2 решение = 105263157894736842
Для 3 решение = 1034482758620689655172413793
Для 4 решение = 102564
Для 5 решение = 102040816326530612244897959183673469387755
Для 6 решение = 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
Для 7 решение = 1014492753623188405797
Для 8 решение = 1012658227848
Для 9 решение = 10112359550561797752808988764044943820224719

Comments

[dvv.livejournal.com]

В смысле — "переставить"? Поменять со старшей цифрой? Циклически всю запись сдвинуть вправо?

[vak]

Для тебя, как программиста - да, циклически сдвинуть вправо. :)

[webushka.livejournal.com]

По-идее, такого числа нет.

[vak]

Есть, лично проверял. :)

[spamsink]

105263157894736842
103448275862068965517241379
И так далее.

В общем, обычное умножение в столбик с переносом вверх, пока не получится 0.

[spamsink]

1034482758620689655172413793, конечно.

[vak]

Точняк.

[webushka.livejournal.com]

А, да, есть :) Разрядной сетки не хватило в первый раз.

[spamsink]

#!/usr/bin/env perl
$mul = $n[0] = $ARGV[0];
$carry = 0;
$i = 0;
do {
        $res = $n[$i] * $mul + $carry;
        $n[$i+1] = $res % 10 ;
        $carry = int($res / 10);
        $i++;
} while ($n[$i] != 0 || $carry != 1);

$n[$i+1] = 1;

print reverse @n;
print "\n";

#!/usr/bin/python

[vak]

for n in range(2,10):
    for k in range(1,100):
        x = 10**k - n
        if x % (10*n - 1) == 0:
            v = 10 * n * x / (10*n - 1) + n
            print "Для %d решение = %d" % (n, v)
            break

Re: #!/usr/bin/python

[spamsink]

Собственно, для 2 я так и решал вручную с помощью bc.

Re: #!/usr/bin/python

[vak]

У меня решение полуаналитическое.
1) x|n * n == n|x
2) (10*x + n) * n == n * 10^k + x где k - количество цифр в x
3) x == n * (10^k - n) / (10*n - 1)

Остается найти такое k чтобы n * (10^k - n) делилось нацело на (10*n - 1).

Re: #!/usr/bin/python

[spamsink]

Это понятно. Конструктивное решение, по-моему, предпочтительнее аналитического. Не нужно ни длинных чисел, ни перебора.

Re: #!/usr/bin/python

[webushka.livejournal.com]

Угу, вот тут-то мне встроенной точности перла и не хватило :)

[vak]

Да, мне твой способ нравится больше. Но на Scheme это выглядит изящнее. :)

(define (solve x n)
  (define d (remainder x 10))
  (define v (+ (quotient x 10) (* d n)))
  (if (not (eqv? v n))
    (solve v n))
  (display d))

Запуск (solve 2 2) выдает 105263157894736842.
Для шестерки (solve 6 6) печатает 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966.

[spamsink]

Четвертая строка, IMHO, нуждается в комментарии.

[vak]

v - это как бы левая часть числа после умножения.
n - цифра, которую мы переставляли вперед.
Когда они сравняются, процесс заканчивается.

А если такая постановка? ))

[dauzh.livejournal.com]

В некотором числе переставили цифры(как-то) и получили число, вдвое больше первого, потом переставили цифры и получили число, втрое больше первого, потом еще как-то переставили цифры и получили число, вчетверо больше первого, потом впятеро, а потом еще и вшестеро. На этом успокоились. Что это за число?

Забавно

[vak]

142857 (285714 428571 571428 714285 857142)
1429857 (2859714 4289571 5719428 7149285 8579142)
Ничего лучше перебора не придумал.

[vak]

А на Хаскеле еще проще:

solve n 1 = 1
solve n x = d + 10 * (solve n ((div x 10) + d * n))
            where d = (mod x 10)

После этого print (solve 2 2) даёт 105263157894736842.

Re: А если такая постановка? ))

[vak]

Ясно, что это за число. Это цифры десятичной дроби 1/7. У неё есть известное свойство: на сколько ни умножь (кроме n*7), в ней только цифры местами меняются.

Интересно, что его можно удлинять двумя способами: дописывая справа нули (что тривиально) или вставляя в середину девятки. Например, 1429857 или 1429999999999857.

Re: А если такая постановка? ))

[dauzh.livejournal.com]

Здорово! Про девятки не знал.
Еще интересная постановка(ответа не знаю) - в некотором числе вычеркнули некоторую цифру, от этого оно уменьшилось в 2 раза. Если вычеркнуть другую цифру - то уменьшится в три раза. И так далее, но, например, на 6 успокоиться. Такое найдется?

Re: А если такая постановка? ))

[vak]

Не получается. Если вычеркиваем не первую цифру, число уменьшается почти в 10 раз. Если первую - то больше чем в два.

Re: А если такая постановка? ))

[dauzh.livejournal.com]

Ну да, я не подумал. Спасибо.